The OpenNET Project / Index page

[ новости /+++ | форум | wiki | теги | ]

Каталог документации / Раздел "Сети, протоколы, сервисы" / Оглавление документа

previous up next index index
Previous: 10.19 Символьный набор HTML    UP: 10.11 Адреса серверов ведущих фирм, работающих в сфере телекоммуникаций
    Next: 10.21 Элементы теории графов

10.20 Справочные данные по математике
Семенов Ю.А. (ГНЦ ИТЭФ)

 

Прекрасна благодушная язвительность,
С которой в завихрениях истории
Хохочет бесноватая действительность
Над мудрым разумением теории

 

И. Губерман

Приводимые в данном разделе определения вляются "шпаргалкой" на случай, когда вы знаете предмет, но что-то забыли. Для первичного изучения математических основ рекомендую обратиться к серьезным монографиям и учебникам.

Условная вероятность .

В теории вероятностей характеристикой связи событий А и B служит условная вероятность P(А|B) события А при условии B, определяемая как P(А|B) = ,

где N(B) - число всех элементарных исходов w, возможных при условии наступления события B, а N(АB) - число тех из них, которые приводят к осуществлению события А.

Если событие B ведет к обязательному осуществлению А: b , то P(A|B)=1, если же наступление B исключает возможность события А: A*B=0, то P(A|B)=0. Если событие А представляет собой объединение непересекающихся событий A1, A2,.: A = , то P(A|B) = .

Если имеется полная система несовместимых событий B =B1, B2,. т.е. такая система непересекающихся событий, одно из которых обязательно осуществляется, то вероятность события A (P(A)) выражается через условные вероятности P(A|B) следующим образом:


(формула полной вероятности).

Множества.

Множество - это совокупность некоторых элементов. Если элемент х входит в множество А, это записывается как x О A. Соотношения A1 Н A2 или A2 К A1 означает, что A1 содержится во множестве A2 (каждый элемент х множества A1 входит в множество A2; A1 является подмножеством A2).
Суммой или объединением множеств А1 и А2 называется множество, обозначаемое A1 И A2, которое состоит из всех точек х, входящих хотя бы в одно из множеств A1 или A2.
Пересечением или произведением множеств А1 и А2 называется множество, обозначаемое A1 З A2, A1*A2 или A1A2, которое состоит из всех точек х, одновременно входящих и в A1 и в A2; пересечение произвольного числа множеств Аa состоит из всех точек х, которые одновременно входят во все множества Аa.
Пустые множества обозначаются 0.
Множества, дополнительные к открытым множествам топологического пространства Х, называются замкнутыми .
Нормированное пространство Х называется гильбертовым , если определена числовая функция двух переменных х1 и х2, обозначаемая (x1,x2) и называемая скалярным произведением, обладающим следующими свойствами:

  1. (x,x)Ё 0;
  2. (x,x)=0 тогда и только тогда, когда х=0;
  3. (l 1x1+l 2 x2, x) = l 1(x1,x) + l 2(x2,x);
  4. (x, l 1x1+l 2 x2) = l 1(x,x1) + l 2(x,x2)
при любых l 1, l 2 и x1, x2 ОX. Норма ||x|| элемента гильбертова пространства Х определяется как ||x||= .

Счетно-гильбертово пространство Х называется ядерным , если для любого р найдется такое q и такой ядерный оператор А в гильбертовом пространстве Х со скалярным произведением (х1,x2)=(х12)q, что (х1,x2)p=(Ax1,x2)q.

Действительное число M является верхней границей или нижней границей множества Sy действительных чисел y, если для всех y О Sy соответственно y ё M или yЁ M. Множество действительных или комплексных чисел ограничено (имеет абсолютную границу), если верхнюю границу имеет множество абсолютных величин этих чисел; в противном случае множество не ограничено. Каждое непустое множество Sy действительных чисел y, имеющее верхнюю границу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) sup y, а каждое непустое множество действительных чисел y, имеющее нижнюю границу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу) inf y. Если множество Sy конечно, то его точная верхняя граница sup y необходимо равна наибольшему значению (максимуму) max y, фактически принимаемому числом y в Sy , а точная нижняя граница inf y равна минимуму min y.
Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Точка P множества называется внутренней для множества S, если P имеет окрестность, целиком содержащуюся в S.

Компакт. Система множеств G называется центрированной , если пересечение конечного числа любых множеств из G не пусто. Замкнутое множество A Н X называется компактом , если всякая центрированная система G его замкнутых подмножеств F имеет непустое пересечение: Множество А называется компактным в Х, если его замыкание F=[A] является компактом .

Гауссовы случайные процессы .

Действительная случайная величина x называется гауссовой, если ее характеристическая функция j =j (u) имеет вид

;
фигурирующие здесь параметры a и s 2 имеют простой вероятностный смысл: a=Mx (среднее значение), s 2 = Dx (средне-квадратичное отклонение). Соответствующее распределение вероятностей также называется гауссовым, его плотность имеет вид

Марковские случайные процессы .

Случайный процесс x =x(t) на множестве T действительной прямой в фазовом пространстве ( E,B ) называется марковским, если условные вероятности P(A| U (-,s) событий AО U (t, ) относительно s-алгебры U (-,s) таковы, что при s ёt с вероятностью 1
,
здесь U (u,v) означает s-алгебру порождаемую всевозможными событиями вида { x(t) О B}, t О[u,v]З T, BО B . Если параметр t интерпретировать как время, то описанное марковское свойство случайного процесса x =x (t) состоит в том, что поведение процесса после момента t при фиксированном состоянии x= x (t) не зависит от поведения процесса до момента t. Для любых событий А О U (-,t1) и A2 О U (t1, ) и при любом t О T t1 ёtё t2 с вероятностью 1

P(A1A2|x (t)) = P(A1|x (t)) P(A2|x(t)).

Цепи Маркова . Пусть x (t) - состояние системы в момент времени t, и пусть соблюдается следующая закономерность: если в данный момент времени s система находится в фазовом состоянии i, то в последующий момент времени t система будет находиться в состоянии j с некоторой вероятностью pij(s,t) независимо от поведения системы до указанного момента s. Описывающий поведение системы процесс x (t) называется цепью Маркова. Вероятности pij(s,t) = p{x (t)=j|x (s)=i} (i,j = 1, 2, .) называются переходными вероятностями марковской цепи x (t).

Марковская цепь x (t) называется однородной , если переходные вероятности pij(s,t) зависят лишь от разности t-s: pij(s,t) = pij(s-t) (i,j=1,2,.)

Финальные вероятности . Пусть состояния однородной марковской цепи x (t) образует один замкнутый положительный непериодический класс. Тогда для любого состояния j существует предел  (j=1, 2,.), один и тот же при всех исходных состояниях i=1,2,.. Предельные значения P1, P2,. представляют собой распределение вероятностей: pj есть финальная вероятность находиться в состоянии j; при этом
Pj=  (j=1,2,...),
где Qj - среднее время возвращения в состояние j в дискретные моменты t = 0, 1, 2, . .

Коэффициент эргодичности . Пусть x =x (t) - случайный марковский процесс в фазовом пространстве (E, B ) с переходной функцией P(s,x,t,B). С вероятностью 1 имеет место равенство

b (s,t) = |P(A| U (-¥, s))- P(A| =

Величина k(s,t) = 1 -

называется коэффициентом эргодичности марковского процесса x =x (t).

Переходная функция. Функция P(s,x,t,B) переменных s, tО T, s ё t и xО E, bО b называется переходной функцией марковского случайного процесса x =x (t) на множестве T в фазовом пространстве (E, B ), если эта функция при фиксированных s, tО T и xО E представляет собой распределение вероятностей на s -алгебре b и при фиксированных s, tО T и BО b является измеримой функцией от x О E.

Стационарные случайные процессы . Стационарный действительный или комплексный случайный процесс x =x (t), рассматриваемый как функция параметра t со значениями в гильбертовом пространстве L2(W) всех действительных или комплексных случайных величин h =h (w), M|h |2< (со скалярным произведением
(h 1, h 2)= M h 1 h 2),
может быть представлен в виде

Белый шум. Простейшим по структуре стационарным процессом с дискретным временем является процесс z =z (t) с некоррелированными значениями:

Mz(t)=0, M|z(t)|2=1,
Mz(t1) при t1 ≠ t2

В случае непрерывного времени t аналогом такого процесса является так называемый "белый шум" - обобщенный стационарный процесс z = б u, z с вида


(параметр u=u(t) есть бесконечно дифференцируемая функция), где стохастическая мера z = z (d ) такова, что

Mz (D )=0, M|z (D )|2 =t-s при D =(s,t), Mz (D 1) z (D 2)=0 для любых непересекающихся D 1 и D 2.

Стационарный процесс x= x(t), Mx(t)=0, называется линейно-регулярным, если
,
где H(s,t) - замкнутая линейная оболочка в пространстве L2(W) значений x(u), s ё u ё t. Стационарный процесс x =x(t) со спектральной мерой F является линейно-регулярным тогда и только тогда, когда F=F( D) абсолютно непрерывна:
F(D) =
а спектральная плотность f=f(l) удовлетворяет условию

(для дискретного t)


(для непрерывного t)

Стационарный процесс x =x(t) линейно-регулярен тогда и только тогда, когда он получается некоторым физически осуществимым линейным преобразованием из процесса z = z(t) с некоррелированными значениями - в случае дискретного t:

x(t) =

и из процесса z =б u, z с "белого шума" - в случае непрерывного t:

x(t) =

Регулярность . Реальные стационарные процессы часто возникают в результате некоторого случайного стационарного возмущения Z = z (t) типа "белого шума". Процесс z = z(t) подвергается некоторому линейному преобразованию и превращается в стационарный процесс x =x(t). Спектральная плотность f= f(l) такого процесса в диапазоне -p ё l ё p для целочисленного времени и - <l < для непрерывного времени t не может обращаться тождественно в нуль ни на каком интервале: в противном случае стационарный процесс x (t) будет сингулярным, что означает возможность его восстановления лишь на полуоси - ,t0. Процессы, спектр которых практически сосредоточен в полосе частот -W< l <W, не обладают свойствами сингулярных процессов. С энергетической точки зрения эти процессы имеют ограниченный спектр. Составляющие их гармонические колебания вида Ф(dl )eilt с частотами вне интервала (-W,W) имеют весьма малые энергии, но они существенно влияют на линейный прогноз значений x (t+t) на основе x (s) на временной полуоси sёt.

Линейные устройства, используемые при решении конкретных задач, должны иметь вполне определенную постоянную времени T (определяет длительность переходных процессов). Это означает, что весовая функция h=h(t) рассматриваемого линейного устройства, связанная с соответствующей передаточной функцией Y =Y(p) равенством

должна удовлетворять требованию h(t)=0 при t>T.
Рассмотрим задачу линейной фильтрации при наличии на входе процесса x =x(t). Тогда x (t)= z (t) +h(t), где h =h(t) - полезный сигнал, а z(t) - независимый от него стационарный случайный процесс (шум). Линейное устройство должно быть выбрано так, чтобы процесс на входе

был по возможности близок к входному полезному сигналу h = h(t), так что в стационарном режиме работы

Линейное устройство, отвечающее поставленным требованиям, должно иметь такую передаточную функцию Y=Y(p), чтобы соответствующая спектральная характеристика

являлась решением интегрального уравнения

Где

- спектральная плотность входного процесса x (t), а Bh h(t) - корреляционная функция полезного сигнала h (t).

Закон больших чисел . Пусть x 1,., x n - независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей, в частности одни и те же математические ожидания a = M x k и дисперсии
s 2=Dx k, k=1,.,n. Каковы бы ни были e >0 и d >0, при достаточно большом n арифметическое среднее
(таким образом )
с вероятностью, не меньшей 1-d, будет отличаться от математического ожидания a лишь не более чем на

Распределение Эрланга

Рассмотрим систему, которая способна обслуживать m запросов одновременно. Предположим, что имеется m линий и очередной запрос поступает на одну из них, если хотя бы одна из них свободна. В противном случае поступивший запрос будет отвергнут. Поток запросов считается пуассоновским с параметром l 0 , а время обслуживания запроса (в каждом из каналов) распределено по показательному закону с параметром l , причем запросы обслуживаются независимо друг от друга. Рассмотрим состояния E0, E1,.,Em, где Ek означает, что занято k линий. В частности E0 означает, что система свободна, а Em - система полностью занята. Переход из одного состояния в другое представляет собой марковский процесс, для которого плотности перехода можно описать как:

При t переходные вероятности pij(t) экспоненциально стремятся к своим окончательным значениям Pj, j=0,.,m. Окончательные вероятности Pj могут быть найдены из системы:

-l 0P0+lP1=0

l 0Pk-1 - (l 0+kl)Pk + (k+1)lPk+1 =0 (1ё k<m)

l 0pm-1+ml Pm=0

решение которой имеет вид:

Эти выражения для вероятностей называются формулами (распределением) Эрланга.

Previous: 10.19 Символьный набор HTML    UP: 10.11 Адреса серверов ведущих фирм, работающих в сфере телекоммуникаций
   Next: 10.21 Элементы теории графов




Спонсоры:
Inferno Solutions
Hosting by Hoster.ru
Хостинг:

Закладки на сайте
Проследить за страницей
Created 1996-2021 by Maxim Chirkov
Добавить, Поддержать, Вебмастеру